Определение погрешности отдельного измерения при косвенных методах измерения

При косвенных методах измерения, когда измеряемая величина вычисляется, погрешность измерения определяется следующим образом. Положим, что искомая величина А определяется выражением

A = Bⁿ · C^m · D^p,

 (1.4)

где В, С и D – величины, полученные в результате прямых измерений; n, m и p – показатели степени при В, С и D, которые могут быть целыми и дробными, положительными и отрицательными.
Прологарифмируем правую и левую части уравнения (1.4), в резуль-тате чего получим выражение:

LnА = n · LnB + m · LnC + p · LnD,

(1.5)

продифференцировав которое, найдем:

dA / A = n · dB / B + m · dC / C + p · dD / D. 

(1.6)

Заменяя дифференциалы dА, dВ, dС и dD малыми приращениями ΔА, ΔВ, ΔС и ΔD (которые можно рассматривать как абсолютные погрешности), можно написать:

 ΔA / A = n · ΔB / B + m · ΔC / C + p · ΔD / D.

(1.7)

Уравнение (1.7) дает возможность, зная погрешность измерения отдельных величин, определить наибольшую возможную погрешность искомой величины А. Так как погрешности могут быть и положительными и отрицательными, то при нахождении возможной погрешности следует всегда брать наиболее неблагоприятный случай, то есть относительные по-грешности в предыдущем выражении следует всегда брать со знаком «+».

В общем случае, если Х определяется по результатам измерений других величин, например, y и z, X = f ( y, z ). Тогда за наилучшее значение X принимается величина X₀ = f ( y₀, z₀ ), где y₀ и z₀ – результаты прямых измерений величин y и z, а наибольшая возможная погрешность косвенного измерения величины X находится через ошибки прямых измерений величин y и z по правилу дифференцирования:

 ΔX = f ( < y > + Δy, < z > + Δz ) − f ( < y >, < z > ) ≈ Δy ⋅ ∂f / ∂y +Δz ⋅ ∂f / ∂z.

(1.8)

Необходимо отметить, что более точным является следующее выражение:

ΔX = ( ( ∂f / ∂y )² ⋅ Δy² + ( ∂f / ∂z )² ⋅ Δz² )^0,5, 

(1.9)

где ∂f / ∂y и ∂f / ∂z – частные производные по y и z, взятые при значениях y = y₀, z = z₀.