Определение доверительного интервала и доверительной вероятности

Ранее нами было рассмотрено определение доверительной вероятности для отдельного измерения X_i с помощью табл. 1.1, то есть определение вероятности того, что X_i не будет отклоняться от истинного значения более чем на величину ΔX.

Однако, наиболее важной задачей является определение величины отклонения от истинного значения X_ист среднего арифметического <X> результатов измерений. Для решения поставленной задачи также можно воспользоваться табл. 1.1, взяв, вместо величины σ величину σ_<X>, то есть у / (n^0.5) или с учетом (1.14), для конечного числа измерений

Средняя квадратичная ошибка среднего арифметического S_n<X> равна средней квадратичной ошибке отдельного результата, деленой на корень квадратный из числа измерений.

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте наблюдений. Из него следует, что для повышения точности измерений в 2 раза необходимо увеличить число измерений в 4 раза. Однако этот вывод относится только к измерениям, в которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой.

Обычно выполняется сравнительно небольшое число измерений для n которых определяется величина S_n<X>. Если при оценке доверительной вероятности считать, что значение S_n<X> совпадает с у_<X> и пользоваться табл. 1.1, то будем получать завышенные значения α. Из того, что σ_<X> является пределом S_n<X> при n → ∞, следует, что S_n<X> пропорциональна величине σ_<X>. Коэффициент пропорциональности зависит от числа измерений и отражает степень приближения S_n<X> к σ_<X>. На основании этого интервал ΔX можно представить в виде

Значения величины t_αn, носящей название коэффициента Стьюдента, вычислены для различных значений n и α и приведены в табл. 1.2. Сравнивая приведенные в ней данные с данными табл. 1.1, легко убедиться, что при больших n величина t_αn стремится к соответствующим значениям величины ε. Это естественно, так как с увеличением n S_n<X> стремится к σ_<X>.

Используя коэффициенты Стьюдента, мы можем переписать равенство (1.14) в виде

Пользуясь этим соотношением и табл. 1.2, легко определить доверительные интервалы и доверительные вероятности при любом небольшом числе измерений. После выполнения измерений должны быть известны все величины, входящие в это выражение - одни из них могут быть наперед заданы, другие необходимо определить.

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность (ошибка), обычно выражаемая в процентах (%):

Величину ϕ = 1/δ, обратную относительной погрешности называют точностью измерений.

Используя таблицу коэффициентов Стьюдента, можно решить и обратную задачу: по известной абсолютной погрешности измерительного прибора и заданной величине надежности определить необходимое число измерений в серии.

Таблица коэффициентов Стьюдента