Критерий устойчивости Гурвица линейных стационарных систем

Критерий устойчивости Гурвица — один из способов анализа линейной стационарной динамической системы на устойчивость, разработанный немецким математиком Адольфом Гурвицем. Наряду с критерием Рауса является представителем семейства алгебраических критериев устойчивости, в отличие от частотных критериев, таких как критерий устойчивости Найквиста. К достоинствам метода относятся простая реализация на ЭВМ, а к недостаткам — малая наглядность.

Формулировка

Метод работает с коэффициентами характеристического уравнения системы. Пусть W(p) = N(p)/M(p)  — передаточная функция замкнутой системы, а M(p) = 0 — характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином M(p) в виде:

M(p) = A0*p^n + A1*p^(n-1) + ... + An

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица D по алгоритму:

1. по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от  A0 до An
2. от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3. на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули.
   

Тогда согласно критерию Гурвица:

Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все n диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.

Какие именно миноры нужно находить? Определитель 1 на 1, с верхнего левого угла, затем 2 на 2 с левого верхнего угла, затем 3 на 3, и так до конца...

Система находится на границе апериодической устойчивости, если A с индексом n будет равна 0. Система находится на границе колебательной устойчивости, если определитель Гурвица с индексом (n-1) будет равным 0.