Изучение поведения микрочастиц в одномерных "потенциальных ямах" различного типа расчетным методом

Данная работа проводится расчетным методом на персональном компьютере. Для ее выполнения используется специальная программа, созданная на языке TURBO-PASCAL, которая загружена в компьютер. Программа предназначена для расчета уровней энергии, волновой функции и плотности распределения вероятности нахождения микрочастицы в прямоугольной, параболической и гиперболической "потенциальных ямах". Функционально программа состоит из трех блоков, соответствующих каждой из указанных "потенциальных ям", которые, в свою очередь, подразделяются на:

1. расчет собственных значений энергии для прямоугольной бесконечно глубокой "потенциальной ямы";
2. построение графиков пси-функции и вероятности нахождения частицы на заданном энергетическом уровне;
3. расчет и построение энергетического спектра уровней для параболической " ямы" квазиупругой силы;
4. построение графиков пси-функции и вероятности нахождения частицы на выбранном энергетическом уровне «параболической ямы».
5. расчет и построение графиков пси-функций и плотности вероятности нахождения микрочастиц на некоторых уровнях «гиперболической ямы».

Все эти задания могут выполняться для широкого интервала значений масс и параметров "потенциальных ям" для микрочастиц, которые вводятся в начале выполнения первого и третьего заданий.

В первом задании для прямоугольной "потенциальной ямы" вводятся значения массы частицы m в пределах от 10^-31 до 10^-26 кг, ширины "потенциальной ямы" l вдоль одной координаты х от 10^-5 до 10^-9 м и квантового числа n - целого, от 1 до 30. Последняя величина позволяет получить максимальное число уровней на экране монитора.

После ввода указанных данных компьютер рассчитывает значение собственной энергии для выбранного n и выводит его на экран монитора, а следующим кадром дает спектр уровней энергии в "яме" вблизи выбранного n.

Затем компьютер переходит к выполнению второго задания и рассчитывает значения пси-функции и ее квадрата (т.е. плотности вероятности) для уровня энергии с выбранным значением n. Эти кривые изображаются на экране монитора. На этом вычисления для "прямоугольной ямы" заканчиваются.

Далее компьютер переходит к выполнению третьего задания для "параболической ямы". Для этого вначале вводится значение собственной частоты колебаний квантового осциллятора ω₀ в пределах от 10²⁰ до 10⁴⁰ рад/с, и компьютер рассчитывает спектр уровней энергии внутри параболической "потенциальной ямы" и рисует его на экране монитора.

Затем выбирается и вводится квантовое число n, и компьютер приступает к расчету четвертого задания, т.е. вычисляет значения пси-функции и ее квадрата (плотности вероятности) для этого уровня. После этих расчетов на экран монитора выводятся указанные распределения для выбранного уровня n.

В последнем задании компьютер рассчитывает и строит графики пси-функций и плотности вероятности нахождения микрочастиц на некоторых уровнях «гиперболической ямы» (например, для электрона в атоме водорода).

Все графики могут рассматриваться на экране монитора, зарисовываться в протокол работы или распечатываться на принтере для сравнения и анализа полученных результатов.

Расчет всех пяти заданий выполняется на компьютере довольно быстро (порядка 15 - 20 мин), что позволяет проводить его неоднократно в течение занятия.

После выполнения всей работы ее можно повторить для других значений параметров, вводимых в процессе работы, а затем сравнить полученные результаты.

1. При домашней подготовке выберите и запишите в протокол (в произвольной форме) значения массы микрочастицы, ширины "потенциальной ямы" и уровней энергии, предполагаемые для изучения.

В лаборатории перед началом работы обсудите с преподавателем целесообразность расчетов для выбранных параметров. Затем проверьте включены ли системный блок и монитор (а также, при возможности, и принтер). Если Вы впервые работаете на данном типе компьютера, получите необходимый инструктаж по его эксплуатации у лаборанта.

Получив разрешение на работу, с помощью клавиш управления курсором выделите пункт меню <ДЛЯ "ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ЯМЫ">, нажмите клавишу <ВВОД> и приступайте к выполнению задания.

2. Введите выбранные значения массы микрочастицы на машинном языке (например, 10^-31 = 1Е-31), ширины "потенциальной ямы" и целого квантового числа n .

Помните, что после набора соответствующего числа на клавиатуре и проверки ее на экране монитора нужно нажимать клавишу <ВВОД> для отправки этого числа в расчетную программу.

3. Приготовьте Ваш протокол работы для того, чтобы вписать в него расчетное значение собственной энергии и зарисовать картину спектра уровней энергии для прямоугольной "потенциальной ямы". Сделайте эти записи и зарисовки в протоколе.

4. После окончания зарисовки нажмите любую клавишу и перейдите к выполнению второго задания по расчету у -функции и ее квадрата. По окончании расчета на экране монитора будут построены графики у -функции и ее квадрата. Зарисуйте их в свой протокол работы. После этого нажмите любую клавишу.

5. Затем выделите пункт меню <ДЛЯ "ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЯМЫ">, нажмите клавишу <ВВОД> и перейдите к выполнению третьего задания. Вначале введите значение собственной частоты квантового осциллятора (в указанном на экране пределе), а затем значения квантового числа n . После этого нажмите любую клавишу и на экране монитора получите спектр уровней энергии для параболической "потенциальной ямы". Срисуйте его в Ваш протокол.

6. Закончив зарисовку, нажмите любую клавишу и переходите к выполнению четвертого задания. Для этого введите значения квантового числа n (в указанном на экране пределе) и нажмите любую клавишу. На экране монитора появится сообщение < ДУМАЮ...>. После расчета на экране монитора будут представлены последовательно графики ψ -функции и | ψ ( х ) |² для выбранного уровня энергии с квантовым числом n для изучаемой "ямы". Зарисуйте их в Ваш протокол работы.

7. Выполнив тем самым весь цикл работы, при наличии времени повторите ее для других параметров изучаемых микрочастиц и "потенциальных ям". Перерисуйте результаты в протокол своей работы.

8. При наличии времени или по заданию преподавателя, исследуйте вид графиков ψ -функции и зависимости от r функции 4π ∙ r² ∙ | ψ ( r ) |² , т.е. радиальной плотности вероятности нахождения электрона в гиперболической "потенциальной яме", соответствующей нахождению электрона в атоме водорода на некотором расстоянии r от ядра [1, 2].

Для этого выделите в главном меню пункт <ДЛЯ "ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ЯМЫ"> и нажмите клавишу <ВВОД>. Введите выбранное значение главного квантового числа n (не более 3) и соответствующие значения квантовых чисел l и m_l. После нажатия на клавишу <ВВОД> компьютер рассчитает кривые ψ ( r ) и радиальной плотности вероятности 4π ∙ r² ∙ | ψ ( r ) |² для введенных n , l и m_l и выдаст их на экране монитора. Срисуйте их в Ваш протокол работы.

9. Для окончания работы выделите в главном меню пункт <ВЫХОД ИЗ ПРОГРАММЫ> и нажмите клавишу <ВВОД>. На этом Ваше выполнение работы закончено.

8.4.3. Обработка результатов измерений.

При домашней обработке результатов сравните полученные значения собственной энергии изучаемых уровней и все графики для идеализированной прямоугольной "потенциальной ямы", для "параболической ямы" квазиупругой силы квантового осциллятора, а также для "гиперболической ямы", соответствующей пребыванию электрона в атоме водорода.

Сделайте выводы об особенностях распределения ψ -функции и | ψ ( х ) |² (т.е. плотности вероятности) для всех изучаемых "ям". Сравните Ваши результаты с теоретическими результатами для аналогичных классических частиц [1, 2, 4]. Ответьте на контрольные вопросы.

8.5. Перечень контрольных вопросов

1. Что определяет уравнение Шредингера? Как записывается его общий вид и вид для стационарных состояний?
2. Как решается уравнение Шредингера для прямоугольной "потенциальной ямы"? Каковы следствия из этого решения?
3. Как решается уравнение Шредингера для "параболической ямы" квантового осциллятора? Каковы следствия из этого решения?
4. Каковы следствия из решения уравнения Шредингера для "гиперболической ямы", соответствующей нахождению электрона в атоме водорода?
5. Как ведет себя классическая частица в аналогичных изучаемым "потенциальных ямах"?
6. Какие выводы можно сделать из полученных результатов работы?