Построение математических моделей методом регрессионного анализа

Регрессионный анализ – это наиболее известный метод построения модели идентификации. Он основан на двух предположениях:

1. метод применим только к математическим моделям линейным по идентифицируемым параметрам;
2. в качестве меры рассогласования математической модели с экспериментальными данными берется сумма квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений выходной величины.

Метод регрессионного анализа включает следующие этапы

1. Составление суммы квадратов отклонений расчетных и экспериментальных значений выходной величины (функция ошибки).
2. Минимизация функции ошибки. Для этого все частные производные функции ошибки по всем параметрам приравниваются к нулю.
3. Решение полученной системы линейных уравнений дает искомые значения параметров.
   

Постановка задачи:

Решить задачу параметрической идентификации и найти параметры a₀, a₁, a₂ математической модели, имеющей следующую структуру: y = a₀ + a₁x₁ + a₂x₂ ; для наилучшего описания следующих экспериментальных данных.

Входные воздействия	x1	1	0	1	2
	x2	1	1	0	1
Выходное воздействие	y	-1	-3	3	1

1. Составим сумму квадратов отклонений (функцию ошибки):


где N = 4 – количество экспериментов,
y_iР – расчетное значение выходного воздействия,
y_iЭ – экспериментальное значение выходного воздействия (из таблицы).


2. Минимизируем полученную функцию ошибки:


3. Применим необходимое условие существования экстремума (минимума) функции многих переменных.

Если непрерывная дифференцируемая функция имеет в некоторой точке экстремум, то ее градиент (вектор частных производных) равен нулю.


4. Вычислим частные производные функции ошибки и приравняем их к нулю:


5. Решим полученную систему линейных уравнений и находим три коэффициента "a".

Система решается достаточно просто, поэтому не будем расписывать её решение подробно. А ответ таков: a₀ = 1, a₁ = 2, a₀ = -4, то-есть полученная модель выглядит следующим образом: y = 1 + 2*x₁ - 4*x₂.