Шпора по матану (математическому анализу) на экзамен

Шпаргалка для сдачи экзамена по математическому анализу (матану, матаналу - кому как больше нравится^^). Уже оформленная (в формате doc) - Вам останется лишь распечатать, вырезать небольшие квадраты ножницами и пользоваться готовыми шпорами.

Вот вопросы, которые есть в данной шпаргалке:

1. Теорема о среднем для определенного интеграла и ее следствия.
2. Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.
3. Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной на отрезке функции. Формула Ньютона-Лейбница.
4. Теорема о замене переменной в определенном интеграле.
5. Теорема об интегрировании по частям в определенном интеграле.
6. Длина дуги гладкой кривой, ее выражение в виде определенного интеграла.
7. Понятие площади плоской квадрируемой фигуры. Теорема о квадрируемости криволинейной трапеции.
8. Определение несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от неограниченных функций. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
9. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла по абсолютному промежутку. Признак абсолютной сходимости, основанный на сравнении подинтегральных функций.
10. Теоремы о замене переменной и об интегрировании по частям в несобственных интегралах.
11. Определение многомерности координатного евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.
12. Предел последовательности точек в многомерном евклидовом пространстве. Критерий Коши сходимости последовательности точек.
13. Теорема о связи поточечной и покоординатной сходимости.
14. Предел функции многих переменных в точке (по совокупности переменных). Теорема о повторном пределе.
15. Непрерывность функции многих переменных в точке и на множестве. Теорема о непрерывности сложной функции.
16. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
17. Ограниченность функции многих переменных, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве.
18. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
19. Равномерная непрерывность функции многих переменных на ограниченном замкнутом множестве.
20. Дифференцируемость и полный дифференциал функции многих переменных. Необходимое и достаточное условие полной дифференцируемости.
21. Теорема о дифференцируемости сложной функции, вычисление частных производных. Инвариантность формы первого дифференциала.
22. Касательная плоскость и нормаль к гладкой поверхности. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции многих переменных.
23. Производная по направлению и градиент функции многих переменных. Выражение произвдн через градиент.
24. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости частных производных от порядка дифференцирования.
25. Формула Тейлора для функции многих переменных с остаточных членом в форме Лагранжа.
26. Локальная формула Тейлора функции многих переменных с остаточным членом в форме Пеано (формулировка).
27. Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия экстремума.
28. Достаточные условия экстремума функции многих переменных.
29. Регулярное отображение и его свойства.
30. Понятие зависимости системы функций. Теорема о необходимых условиях зависимости. Формулировка достаточных условий зависимости.
31. Теорема о существовании, единственности и непрерывности неявной функции, определяемой одним уравнением с двумя переменными.
32. Теорема о дифференцируемости неявной функции, определяемой одним уравнением с двумя переменными.
33. Вычисление производных неявных функций, заданных системой уравнений.
34. Понятие отображения. Дифференцируемое отображение и его дифференциал. Матрица Якоби и Якобиан системы функций, их свойства. Отображения.

Пример ответа на вопрос (но без математических значков):

Вопрос №6:

Определение 1. Множество {M} всех точек на плоскости OXY, координаты которых определяются уравнениями {x=Фи(t); y=Пси(t); t принадлежит [a,b]; называется простой кривой L, если различным значениям t на отрезке [a,b] отвечают различные точки M принадлежащие{M}.

Пусть задана кривая L и T-произвольное разбиение отрезка [a,b]. Обозначим M0, M1,…,Mn -соответcвующие точки кривой. Ломаную M0,…Mn назовем ломаной, вписанной в кривую L и отвечающую заданному разбиению T отрезка [a,b]. Обозначим li=M_i-1 M_i – длину звена ломаной. Общая длина будет определятся выражением .... .

Определение 2. Кривая L называется спрямляемой, если множество {l(ti)} всех вписанных в кривую L ломаных, отвечающее всем разбиениям T отрезка [a,b] ограничено.

Определение 3. Длиной дуги l кривой L называется Sup{l(ti)} => l > 0 и существуют неспрямляемые кривые.

Лемма 1. Пусть разбаению T отрезка [a,b] соответсвует длина длина l ломаной, вписанной в кривую L. Если разбиение T’ получено из разбиения T путем добавления новых точек, то l’ > l.

Свойства спрямляемых кривых:
1. Если кривая спрямляема, то длина l её дуги не зависит от параметризации этой кривой.

2. Если спрямляемая кривая L при помощи конечного числа точек Mi разбита на конечное число кривых Li, то каждая Li спрямляема и ещё кое-что (см. в оригинале).

3.    Пусть L задана параметрическим уравнением. Обозначим через l(t) длину участка Lt, точки которого определяются всеми значениями параметра t. Тогда l(t) будет непрерывной и возрастающей функцией параметра t.

Лемма 2. Пусть L задана параметрическими уравнениями{x=фи(t); y=пси(t); t принадлежит [a,b]; и пусть при этом функции x=фи(t) и y=пси(t) имеют непрерывные производные на [a,b]. Тогда L – спрямляема.

Доказательство. Здесь идёт длинное доказательство с формулами... Потом даны ещё одна теорема и лемма.