Шпаргалка для сдачи экзамена по математическому анализу (матану, матаналу - кому как больше нравится^^). Уже оформленная (в формате doc) - Вам останется лишь распечатать, вырезать небольшие квадраты ножницами и пользоваться готовыми шпорами.
Вот вопросы, которые есть в данной шпаргалке:
- Теорема о среднем для определенного интеграла и ее следствия.
- Теорема о непрерывности интеграла с переменным верхним пределом.
- Теорема о производной интеграла с переменным верхним пределом. Существование первообразной у непрерывной на отрезке функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- Теорема о замене переменной в определенном интеграле.
- Теорема об интегрировании по частям в определенном интеграле.
- Длина дуги гладкой кривой, ее выражение в виде определенного интеграла.
- Понятие площади плоской квадрируемой фигуры. Теорема о квадрируемости криволинейной трапеции.
- Определение несобственных интегралов по бесконечному промежутку и от неограниченных функций. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
- Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла по абсолютному промежутку. Признак абсолютной сходимости, основанный на сравнении подинтегральных функций.
- Теоремы о замене переменной и об интегрировании по частям в несобственных интегралах.
- Определение многомерности координатного евклидова пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Неравенство треугольника.
- Предел последовательности точек в многомерном евклидовом пространстве. Критерий Коши сходимости последовательности точек.
- Теорема о связи поточечной и покоординатной сходимости.
- Предел функции многих переменных в точке (по совокупности переменных). Теорема о повторном пределе.
- Непрерывность функции многих переменных в точке и на множестве. Теорема о непрерывности сложной функции.
- Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.
- Ограниченность функции многих переменных, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве.
- Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.
- Равномерная непрерывность функции многих переменных на ограниченном замкнутом множестве.
- Дифференцируемость и полный дифференциал функции многих переменных. Необходимое и достаточное условие полной дифференцируемости.
- Теорема о дифференцируемости сложной функции, вычисление частных производных. Инвариантность формы первого дифференциала.
- Касательная плоскость и нормаль к гладкой поверхности. Геометрический смысл частных производных и полного дифференциала функции многих переменных.
- Производная по направлению и градиент функции многих переменных. Выражение произвдн через градиент.
- Частные производные и дифференциалы высших порядков. Теорема о независимости частных производных от порядка дифференцирования.
- Формула Тейлора для функции многих переменных с остаточных членом в форме Лагранжа.
- Локальная формула Тейлора функции многих переменных с остаточным членом в форме Пеано (формулировка).
- Экстремум функции многих переменных. Необходимые условия экстремума.
- Достаточные условия экстремума функции многих переменных.
- Регулярное отображение и его свойства.
- Понятие зависимости системы функций. Теорема о необходимых условиях зависимости. Формулировка достаточных условий зависимости.
- Теорема о существовании, единственности и непрерывности неявной функции, определяемой одним уравнением с двумя переменными.
- Теорема о дифференцируемости неявной функции, определяемой одним уравнением с двумя переменными.
- Вычисление производных неявных функций, заданных системой уравнений.
- Понятие отображения. Дифференцируемое отображение и его дифференциал. Матрица Якоби и Якобиан системы функций, их свойства. Отображения.
Пример ответа на вопрос (но без математических значков):
Вопрос №6:
Определение 1. Множество {M} всех точек на плоскости OXY, координаты которых определяются уравнениями {x=Фи(t); y=Пси(t); t принадлежит [a,b]; называется простой кривой L, если различным значениям t на отрезке [a,b] отвечают различные точки M принадлежащие{M}.
Пусть задана кривая L и T-произвольное разбиение отрезка [a,b]. Обозначим M0, M1,…,Mn -соответcвующие точки кривой. Ломаную M0,…Mn назовем ломаной, вписанной в кривую L и отвечающую заданному разбиению T отрезка [a,b]. Обозначим li=M
i-1 M
i – длину звена ломаной. Общая длина будет определятся выражением .... .
Определение 2. Кривая L называется спрямляемой, если множество {l(ti)} всех вписанных в кривую L ломаных, отвечающее всем разбиениям T отрезка [a,b] ограничено.
Определение 3. Длиной дуги l кривой L называется Sup{l(ti)} => l > 0 и существуют неспрямляемые кривые.
Лемма 1. Пусть разбаению T отрезка [a,b] соответсвует длина длина l ломаной, вписанной в кривую L. Если разбиение T’ получено из разбиения T путем добавления новых точек, то l’ > l.
Свойства спрямляемых кривых:
1. Если кривая спрямляема, то длина l её дуги не зависит от параметризации этой кривой.
2. Если спрямляемая кривая L при помощи конечного числа точек Mi разбита на конечное число кривых Li, то каждая Li спрямляема и ещё кое-что (см. в оригинале).
3. Пусть L задана параметрическим уравнением. Обозначим через l(t) длину участка Lt, точки которого определяются всеми значениями параметра t. Тогда l(t) будет непрерывной и возрастающей функцией параметра t.
Лемма 2. Пусть L задана параметрическими уравнениями{x=фи(t); y=пси(t); t принадлежит [a,b]; и пусть при этом функции x=фи(t) и y=пси(t) имеют непрерывные производные на [a,b]. Тогда L – спрямляема.
Доказательство. Здесь идёт длинное доказательство с формулами... Потом даны ещё одна теорема и лемма.
