Классификация математических моделей по свойствам обобщенного объекта моделирования
Линейность или нелинейность. Оно обычно расшифровывается как линейная (нелинейная) зависимость от входов операторов S(линейность или нелинейность параметров состояния) или V(линейность или нелинейность модели в целом). Линейность может являться как естественным, хорошо соответствующим природе, так и искусственным (вводимым для целей упрощения) свойством модели.
Непрерывность или дискретность. Оно выражается в структуре множеств (совокупностей), которым принадлежат параметры состояния, параметр процесса и выходы системы. Таким образом, дискретность множеств Y, X- ведет к модели, называемой дискретной, а их непрерывность – к модели с непрерывными свойствами. Дискретность входов (импульсы внешних сил, ступенчатость воздействия и др.) в общем случае не ведет к дискретности модели в целом.
Важной характеристикой дискретной модели является конечность или бесконечность числа состояния системы и числа значений выходных характеристик. В первом случае модель называется дискретной конечной. Дискретность модели также может быть как естественным условием (система скачкообразно меняет свое состояние и выходные свойства), так и искусственно внесенной особенностью. Например, замена непрерывной математической функции на набор значений в фиксированных точках. (Пример: метод конечных разностей, МКЭ, расчет оболочки).
Детерминированность или стохастичность. Если в модели среди величин х+, a, y, x- имеются случайные, т.е. определяемые лишь некоторыми вероятностными характеристиками, то модель называется стохастической (вероятностной, случайной). В этом случае и все результаты, полученные при рассмотрении модели, имеют стохастический характер и должны быть соответственно интерпретированы.
Здесь подчеркнем, что с точки зрения практики граница между детерминированными и стохастическими моделями выглядит расплывчатой. Удобный практический прием состоит в том, что при малых отклонениях от фиксированных значений модель считается детерминированной, а отклонение результата исследуется методами оценок или анализа ее чувствительности. При значительных же отклонениях применяется методика стохастического исследования.
Стационарность и нестационарность. Пусть в рассматриваемом правиле присутствует параметр процесса, которым для удобства понимания будем считать время. Возьмем все внешние условия изменения данного правила одинаковыми, но в первом случае применяем правило в момент t0, а во втором – в момент t0 + Q. Спрашивается, будет ли результат применения правила одинаковым? Ответ на этот вопрос и определяет стационарность: результат одинаков, то правило (процесс) считается стационарным, а если различен – нестационарным. Если все правила в модели стационарны, то стационарной называется и сама модель.
Чаще всего стационарность выражается в неизменности во времени некоторых физических величин: стационарным является поток жидкости с постоянной скоростью, стационарна механическая система, в которой силы зависят только от координат и не зависят от времени.
Для отражения стационарности в формальной записи рассмотрим расширенный вид правила S, в которое введена зависимость от начальных условий процесса t0, y0 и зависимость входов от параметра t:
y = S(x+ (t), a, t, t0, y0).
Тогда для стационарного процесса имеет место равенство:
S(x+(t+q), a, i + q, t0 + q, y0) = S(x+(t), a, t, t0, y0).
Конечность или бесконечность числа входов, выходов, параметров состояния, постоянных параметров системы. Теоретически рассматриваются оба типа, но на практике работают лишь с конечномерными (конечными) моделями.
