Maxima: Основы работы с математическим пакетом Maxima (а так же решение диффуров в нём)

Математический пакет Maxima - одна из лучших бесплатных замен маткаду.

Данное учебное пособие (в формате pdf) может быть использовано в рамках дисциплин математический анализ, дифференциальные уравнения, пакеты прикладных программ и др. на разных специальностях в учреждениях высшего профессионального образования, если государственным образовательным стандартом предусмотрено изучение раздела «Дифференциальные уравнения», а также в рамках курсов по выбору. Оно также может быть полезным для знакомства с системами компьютерной математики в профильных классах общеобразовательных учреждений с углубленным изучением математики и информатики.

• Предисловие
• Глава 1. Основы работы в системе компьютерной математики Maxima
  
  • 1.1. О системе Maxima
  • 1.2. Установка Maxima на персональный компьютер
  • 1.3. Интерфейс основного окна Maxima
  • 1.4. Работа с ячейками в Maxima
  • 1.5. Работа со справочной системой Maxima
  • 1.6. Функции и команды системы Maxima
  • 1.7. Управление процессом вычислений в Maxima
  • 1.8. Простейшие преобразования выражений
  • 1.9. Решение алгебраических уравнений и их систем
  • 1.10. Графические возможности
• Глава 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
  
  • 2.1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
  • 2.2. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
    • 2.2.1. Метод Эйлера
    • 2.2.2. Метод Эйлера-Коши
    • 2.2.3. Метод Рунге-Кутта 4 порядка точности
  • 2.3. Решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей
  • 2.4. Метод сеток для решения дифференциальных уравнений в частных производных
• Глава 3. Нахождение решений дифференциальных уравнений в системе Maxima
  
  • 3.1. Встроенные функции для нахождения решений дифференциальных уравнений
  • 3.2. Решение дифференциальных уравнений и их систем в символьном виде
  • 3.3. Построение траекторий и поля направлений дифференциальных уравнений.
  • 3.4. Реализация численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
    • 3.4.1. Метод Эйлера
    • 3.4.2. Метод Эйлера-Коши
    • 3.4.3. Метод Рунге-Кутта
  • 3.5. Реализация конечно-разностного метода решения краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений
  • 3.6. Реализация метода сеток для дифференциальных уравнений в частныхпроизводных
• Задания для самостоятельного решения
• Литература

Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Одной из основных особенностей дифференциальных уравнений является непосредственная связь теории дифференциальных уравнений с приложениями. Изучая какие-либо физические явления, исследователь, прежде всего, создает его математическую идеализацию или математическую модель, записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Такими оказываются модели различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др. Исследуя полученные дифференциальные уравнения вместе с дополнительными условиями, которые, как правило, задаются в виде начальных и граничных условий, математик получает сведения о происходящем явлении, иногда может узнать его прошлое и будущее [1].

Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать качественные оценки измерений, происходящих в нем с течением времени. На основе анализа дифференциальных уравнений были открыты электромагнитные волны.

Можно сказать, что необходимость решать дифференциальные уравнения для нужд механики, то есть находить траектории движений, в свою очередь, явилась толчком для создания Ньютоном нового исчисления. Через обыкновенные дифференциальные уравнения шли приложения нового исчисления к задачам геометрии и механики.

Учитывая современной развитие компьютерной техники и интенсивное развитие нового направления — компьютерной математики — получили широкое распространение и спрос комплексы программ, называемые системами компьютерной математики.

Компьютерная математика — новое направление в науке и образовании, возникшее на стыке фундаментальной математики, информационных и компьютерных технологий. Система компьютерной математики (СКМ) — это комплекс программ, который обеспечивает автоматизированную, технологически единую и замкнутую обработку задач математической направленности при задании условия на специально предусмотренном языке.

Современные системы компьютерной математики представляют собой программы с многооконным графическим интерфейсом, развитой системой помощи, что облегчает их освоение и использование. Основными тенденциями развития СКМ являются рост математических возможностей, особенно в сфере аналитических и символьных вычислений, существенное расширение средств визуализации всех этапов вычислений, широкое применение 2D- и 3D-графики, интеграция различных систем друг с другом и другими программными средствами, широкий доступ в Internet, организация совместной работы над образовательными и научными проектами в Internet, использование средств анимации и обработки изображений, средств мультимедиа и др.

Существенным обстоятельством, которое до недавнего времени препятствовало широкому использованию СКМ в образовании, является дороговизна профессионального научного математического обеспечения. Однако в последнее время многие фирмы, разрабатывающие и распространяющие такие программы, представляют (через Internet - http://www.softline.ru) для свободного использования предыдущие версии своих программ, широко используют систему скидок для учебных заведений, бесплатно распространяют демонстрационные или пробные версии программ [5].

Кроме того, появляются бесплатные аналоги систем компьютерной математики, например, Maxima, Scilab, Octave и др.

В настоящем учебном пособии рассматриваются возможности системы компьютерной математики Maxima для нахождения решений дифференциальных уравнений.

Почему именно Maxima?

Во-первых, система Maxima — это некоммерческий проект с открытым кодом. Maxima относится к классу программных продуктов, которые распространяются на основе лицензии GNU GPL (General Public License).

Во-вторых, Maxima — программа для решения математических задач как в численном, так и в символьном виде. Спектр ее возможностей очень широк: действия по преобразованию выражений, работа с частями выражений, решение задач линейной алгебры, математического анализа, комбинаторики, теории чисел, тензорного анализа, статистических задач, построение графиков функций на плоскости и в пространстве в различных системах координат и т.д.

В-третьих, в настоящее время у системы Maxima есть мощный, эффективный и «дружественный» кроссплатформенный графический интерфейс, который называется WxMaxima (http://wxmaxima.sourceforge.net).

Авторами книги уже на протяжении десяти лет изучаются системы компьютерной математики такие как Mathematica, Maple, MathCad. Поэтому, зная возможности этих программных продуктов, в частности для нахождения решений дифференциальных уравнений, хотелось изучить вопрос, связанный с организацией вычислений в символьном виде в системах компьютерной математики, распространяемых свободно.

Настоящее пособие рассказывает о возможностях организации процесса поиска решений дифференциальных уравнений на базе системы Maxima, содержит в себе общие сведения по организации работы в системе.

Пособие состоит из 3 глав. Первая глава знакомит читателей с графическим интерфейсом wxMaxima системы Maxima, особенностями работы в ней, синтаксисом языка системы. Начинается рассмотрение системы с того, где можно найти дистрибутив системы и как его установить. Во второй главе рассматриваются общие вопросы теории дифференциальных уравнений, численные методы их решения.

Третья глава посвящена встроенным функциям системы компьютерной математики Maxima для нахождения решений обыкновенных дифференциальных уравнений 1 и 2 порядка в символьном виде. Также в третьей главе показана реализация в системе Maxima численных методов решения дифференциальных уравнений. В конце пособия приведены задания для самостоятельного решения.

Мы надеемся, что пособием заинтересуется широкий круг пользователей и оно станет их помощником в освоении нового инструмента для решения мате матических задач.



P.S. Быстрый старт: для выполнения команд и функций в mwMaxima нужно непосредственно сначала ввести саму команду и затем нажать crtl+Enter.