Экзаменационные вопросы по математическому анализу, второй семестр

Программа экзамена по математическому анализу за второй семестр, теоретическая часть.

Для групп ИВТ, первый курс, второй семестр.

Для получения отличной оценки необходимо уметь доказывать все теоремы.

1. Порядок, решение, интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Интегральная кривая ОДУ. Примеры. Задача, приводящая к ОДУ первого порядка.
   
2. Задача Коши. Уравнения с разделяющимися переменными и их интегрирование. Примеры.
   
3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка и их интегрирование. Примеры.
   
4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли. Примеры.
   
5. Метод вариации произвольных постоянных. Уравнение Бернулли. Примеры.
   
6. Уравнения в полных дифференциалах. Примеры.
   
7. Обыкновенные дифференциальные уравнения высших порядков. Решение (функция). Интегрирование. Начальные условия. Общий интеграл. Частное решение. Примеры.
   
8. Понижение порядка ОДУ. Уравнение вида y(n) = f(x). Уравнение, не содержащее искомой функции. Примеры.
   
9. Понижение порядка уравнения, не содержащего независимой переменной. Примеры.
   
10. Свойства решений линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ). Примеры.
    
11. Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского. Примеры. Необходимый признак линейной зависимости. Необходимый и достаточный признак линейной независимости решений ЛОДУ.
    
12. Фундаментальная система решений. Примеры. Структура общего решения ЛОДУ.
    
13. ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение и его корни. Вид общего решения. Примеры.
    
14. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных. Примеры.
    
15. ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Структура общего решения. Нахождение частного решения методом вариации. Примеры.
    
16. Нахождение частного решения ЛНДУ в случае правой части специального вида. Примеры. 
17. Объем цилиндрического тела. Определение двойного интеграла и его существование. Основные свойства двойного интеграла. Объем сферы и тетраэдра ОАВС.
18. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах сведением к повторному. Формула элемента площади. Объем цилиндра. Площадь области интегрирования.
19. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. Формула элемента площади.
20. Вычисление интеграла от функции exp(– x2) по положительной полуоси методом Пуассона.
    
21. Вычисление площадей плоских фигур при помощи двойного интеграла. Площадь эллипса.
    
22. Вычисление площадей поверхностей при помощи двойного интеграла. Площадь сферы.
    
23. Вычисление объемов при помощи двойного интеграла. Объем трехосного эллипсоида. Обобщенные полярные координаты.
24. Кривизна плоской кривой. Формула для вычисления кривизны в случае явного задания кривой.
    
25. Радиус кривизны. Круг кривизны. Формула для вычисления кривизны в случае неявного задания кривой.
    
26. Центр кривизны. Формула для нахождения координат центра кривизны в случае параметрического задания кривой.
    
27. Задача о массе нити. Определение криволинейного интеграла первого рода и его геометрический смысл. Площадь цилиндрической поверхности. Примеры.
28. Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги. Связь с криволинейным интегралом второго рода. Примеры.
29. Определение криволинейного интеграла по координатам, аддитивность и смена его знака. Пример использования этих свойств при вычислении криволинейного интеграла.
    
30. Вычисление площадей плоских фигур при помощи криволинейного интеграла. Площадь эллипса, астроиды, циклоиды.
    
31. Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования. Примеры.
32. Основные свойства сходящихся рядов. Отбрасывание и дописывание конечного числа членов. Достаточный признак расходимости ряда. Гармонический ряд и его расходимость. Примеры.
    
33. Сходимость положительных рядов. Признак сравнения. Предельный признак сравнения. Примеры.
    
34. Предельный признак Даламбера сходимости положительных рядов. Пример сходящегося и пример расходящегося ряда с lim = 1.
    
35. Предельный признак Коши сходимости положительных рядов. Пример сходящегося и пример расходящегося ряда с lim = 1.
    
36. Интегральный признак Коши. Сходимость рядов Дирихле. Расходимость гармонического ряда.
    
37. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Теорема об оценке остатка знакочередующегося ряда. Примеры.
    
38. Абсолютно сходящиеся ряды. Теорема о сходимости абсолютно сходящегося ряда. Пример ряда, сходящегося неабсолютно. Свойства абсолютно сходящихся рядов, аналогичные свойствам конечных сумм.
    
39. Функциональные последовательности и ряды. Сходимость в точке. Сходимость в интервале. Сумма ряда. Область сходимости. Примеры. Равномерная сходимость функционального ряда и ее геометрический смысл. Признак Вейерштрасса. Примеры.
    
40. Интервал сходимости степенного ряда. Лемма Абеля. Область сходимости степенного ряда. Примеры.
    
41. Теоремы о равномерной сходимости степенного ряда и непрерывности его суммы. Разложение функции ln в ряд Тейлора.
    
42. Теорема о почленном интегрировании степенного ряда и ее использование для разложения функции arctg в ряд Тейлора.
    
43. Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда и ее использование для разложения функции cos в ряд Тейлора.
    
44. Ряды Тейлора. Признаки разложимости функции в ряд Тейлора. Примеры. Разложение экспоненты в ряд Тейлора. Ряд для числа е, приближенная формула для экспоненты.
    
45. Разложение синуса и косинуса в ряд Тейлора. Приближенные формулы для sin, cos и tg (последняя – без обоснования). Примеры.
    
46. Разложение логарифма в ряд Тейлора. Сумма ряда Лейбница. Приближенная формула для вычисления логарифмов. Примеры.
    
47. Разложение арктангенса в ряд Тейлора. Некоторые ряды, связанные с числом «пи». Приближенная формула для вычисления arctg. Примеры. 

21.05.2010 Бочкин Александр Михайлович, ВолгГТУ.

А следующие вопросы входили в экзаменационные вопроса по математическому анализу в 2007 году (их также назначал Бочкин).

• Задача о массе тела. Определение тройного интеграла. Основные свойства тройного интеграла. Объем области интегрирования. Объем трехосного эллипсоида. Примеры.
  
• Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах по прямоугольному параллелепипеду и произвольной области. Схема сведения тройного интеграла к повторному.
  
• Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах: Зависимость между декартовыми и цилиндрическими координатами точки, координатные поверхности, формула элемента объема.
  
• Вычисление тройного интеграла в сферических координатах: Зависимость между декартовыми и сферическими координатами точки, координатные поверхности, формула элемента объема.