Главная » Файлы » Методика выполнения лабораторных работ по физике » Квантовая физика [ Добавить материал ]

Поведения микрочастиц вблизи потенциального барьера

15.1. Цель работы

Методом расчета на персональном компьютере изучить особенности по-ведения микрочастиц вещества вблизи одномерных потенциальных барьеров раз-личных размеров и оценить характеристики «туннельного эффекта» при про-хождении этих барьеров.

15.2. Содержание работы

Движение и поведение микрочастиц вещества в квантовой механике хорошо описывается с помощью уравнения Шрёдингера и его решения. Одним из распространенных случаев такого подхода является решение задачи о поведении частицы на границе раздела двух или нескольких областей, в каждой из которых потенциальная энергия частицы постоянна, но различается на конечную величину [1].

Схематизируя реально встречающиеся условия, предположим, что на границе областей I и II потенциальная энергия изменяется скачком, как показано на рисунке 15.1, а, б.



Выберем ось Х в направлении движения частицы массой т и тогда будем описывать её поведение волновой функцией Ψ = Ψ(x). Уравнение Шрёдингераможно записать для такого случая в виде

(dΨ2 / dx2) + (2m / ђ2) · (E -U) · Ψ = 0
(15.1)


где ђ = h / 2π - постоянная Планка;
Е - энергия частицы;
U - потенциальная энергия зоны, причем в зоне I при х < 0 имеем U = 0, а в зоне II при х > 0 имеем U = U0 = const.

Детальное решение уравнения Шрёдингера (15.1) для зон I и II дает следующие общие уравнения для волновых функций в каждой из зон [1,2]:

для I: Ψ1=a1 · ei ·k1 · x + в1 · e-i · k1 · x
(15.2)
для II: Ψ2=a2 · ei ·k2 · x + в2 · e-i · k2 · x.
(15.3)

Здесь k1 = (1 / ђ) · (2m · E)1/2, a k2 = (1 / ђ) · (2m · (E - U))1/2 - волновые числа волн де-Бройля в соответствующих зонах I и II.

Рассмотрим условия перехода частиц из области I в область II в обоих случаях, представленных на рис. 15.1, а и 15.1, б.

При Е > U (см. рис. 15.1, а) частица, подчиняющаяся классической механике, обязательно перейдет из области I в область II, преодолев задерживающее поле с энергией U, и будет двигаться в области II с уменьшенной энергией (Е - U).

Частица, подчиняющаяся квантовой механике, будет в этом случае вести себя совершенно иначе. Это связано, прежде всего, с характером решения уравнения Шрёдингера (15.2), в котором первый член описывает падающую волну де-Бройля, распространяющуюся в направлении оси X, а второй член - отраженную волну де-Бройля. При этом следует заметить, что в зоне I могут распространяться как падающая, так и отраженная волны, а в зоне II - лишь проходящая волна (так как для отражения в этой зоне нет причин - нет границы раздела). Поэтому в (15.3) следует положить в2 = 0 и тогда

Ψ2=a2 · ei ·k2 · x

Если положить амплитуду падающей волны а1 = 1, то можно вычислить остальные амплитуды в1 и а2, применяя граничные условия. Расчет дает [1], что

в1 = ( k1 - k2) / (k1 + k2) и a2 = 2k1 / (k1 + k2 )
(15.4)


Следовательно, для коэффициентов отражения R и прозрачности D , которые по аналогии с оптикой пропорциональны квадратам соответствующих амплитуд (с учетом, что a12 = 1), будем иметь

R = в21 = ( ( k1 - k2) / (k1 + k2) )2
(15.5)
и
D = a22 · (k2 / k1) = ( ( 4k1· k2) / (k1 + k2) )2

(15.6)

Эти коэффициенты можно истолковать с корпускулярной точки зрения следующим образом: R представляет вероятность частице испытать отражение на границе раздела областей, a D - вероятность пройти в область П или, как принято говорить, преодолеть потенциальный барьер. Как и следовало
ожидать при этом R + D = 1, что вытекает из подстановки в это выражение формул (15.5) и (15.6).

Расчет коэффициентов R и D по этим же формулам показывает, что, когда энергия частицы вдвое больше высоты потенциальной ступени U, вероятность отражения имеет заметную величину (около 3%). Эта вероятность вырастает еще больше при уменьшении соотношения E / U.

При Е < U (см. рис.15.1, б) переход из области I в П по классической механике невозможен, т.к. при этом условии потенциальная энергия частицы больше полной, а значит кинетическая энергия должна была бы стать отрицательной и скорость - мнимой.

Расчет по квантовой механике коэффициента отражения R для этого случая дает

R = | (k1 - i ·k) / (k1 + i ·k) |2 = 1
(15.7)
где
k = (1 / ђ)· (2m · (U - E) )1/2 , a i = (-1)1/2


Следовательно, отражение в этом случае является полным (R = 1, D = 0), что вполне соответствует ожидаемому результату. Однако при этом (как показывает детальный расчет Ψ - функции) имеется определенная вероятность найти частицу в области II:

Ψ22 = a22 · e (-2 /ђ) · (2m · (U - E) · x)
(15.8)

Правда, эта вероятность экспоненциально (т.е. очень быстро) убывает с увеличением х, но она отлична от нуля. Значит, микроскопические частицы могут проникать в области "запрещенные" для частиц макроскопических. Оценочный расчет дает, например, что относительная вероятность найти электрон на расстоянии 10-10м от границы при условии, если (U - Е) = 1 эВ, составляет 29%, т.е. очень большая. Однако уже при х = 5 ·10-10 м эта вероятность становится равной лишь 0,5%.

Теперь рассмотрим поведение микрочастиц вблизи потенциального барьера конечной ширины d (см. рис.15.2). Предположим, что частица движется слева направо параллельно оси Х в поле, которое мы разделим на три области.

В области I, т.е. при х < 0, потенциальная энергия U = 0;
в области II, т.е. при 0 < x < d,- U = const ≠ 0;
в области III, т.е. при х > d,- U = 0.

Этот тип барьера схематически представляет условия, встречающиеся при решении многих задач атомной физики.

Напишем уравнение Шрёдингера для каждой области отдельно: для областей I и III (U = 0):

(d2Ψ / dx2) + ( (8π2 · m) / h2 ) · EΨ = 0
(15.9)

и для области II (U ≠ 0):

(d2Ψ / dx2) + ( (8π2 · m) / h2 ) · (E - U) = 0
(15.10)


Решения этих уравнений будут соответственно:

Ψ I, III = e± i · k1 · x (k1 = (2π / h) · (2m · E)1/2 = 2π / λ),
(15.11)

Ψ II = e± i · k2 · x (k2 = (2π / h) · (2m · (E - U))1/2 = 2π / λ),



Отличие рассматриваемого случая от изученного ранее (на основании рис. 15.1) состоит в том, что теперь (см. рис. 15.2) отражение имеет место как на границе областей I и II, так и на границе областей II и III. В соответствии с этим решениями будут:

Ψ I = ei · k1 · x + b1 · e-i · k1 · x , Ψ II = a2 · ei · k2 · x + b2 · e-i· k2 · x , Ψ III = a3 · e± i · k1 · x

(15.13)

При этом, как и ранее, коэффициент а1 положен равным единице. Графики Ψ - функций для каждой из зон I, II, III, соответственно, представлены на рис. 15.2 в виде сплошных линий.

Для вычисления коэффициентов R и D необходимо найти прежде всего постоянные b1, b2, a2, а3. С этой целью можно воспользоваться условиями непрерывности функции Ψ и ее первой производной на границах областей I и II, II и III, т.е. при х = 0 и при х = d. Выпишем эти условия:

I)x=0 = (Ψ II)x=0, (dΨ I / dx)x=0 = (dΨ II / dx)x=0 ;
(15.14)



II)x=d = (Ψ III)x=d, (dΨ II / dx)x=d = (dΨ III / dx)x=d;
(15.15)

Эти условия дают

(15.16)

Решая эту систему уравнений, найдем следующее выражение для а3:

(15.17)


Коэффициент прозрачности барьера D [см. формулу (15.6)] в данном случае равен просто квадрату модуля а3 ввиду того, что длина волны в областях I и III - одна и та же:

D = |a3|2 = a3 · a3*
(15.18)

Представляет интерес величина D в том случае, когда Е < U. При этом

k2 = (2π / h) · ( 2m · (E - U) )1/2

будет, очевидно, чисто мнимым числом. Положим

k2 = i · k

где
k = (2π / h)· ( 2m · (U - E) )1/2
(15.19)

Экспоненциальные функции  e±i · k2 · d , входящие в знаменатель выражения (15.17), будут при этом условии действительными числами e± k · d. Вместо формулы (15.17) мы получим





Дальнейший расчет дает


(15.20)

Можно заметить, что слагаемым 4 в знаменателе формулы (15.20) можно пренебречь по сравнению с e2kd и, так как k1 и k одного порядка величины, то с точностью до несущественного множителя:

D ~ e-2k · d = e(-4π / h) · (2m · (U - E) · d)1/2

(15.21)


Эта формула показывает, что проницаемость барьера в очень сильной степени зависит от его ширины d Оценка величины D для разных значений ширины барьера показывает, что проницаемость довольно велика (несколько процентов) для барьеров атомных размеров (~10-10 м), но уже для d = 10-9 м она становится ничтожно малой.

Интересно отметить, что прохождение через потенциальный барьер не сопровождается для частицы потерей энергии: она выходит из пределов барьера с той же энергией, с какой в него попадает.



Мы рассмотрели случай прохождения частицы через потенциальный барьер весьма упрощенной прямоугольной формы. Можно показать, что коэффициент прозрачности барьера произвольного вида (см. рис 15.3) выражается с достаточным приближением формулой, которая является естественным обобщением формулы (15.21),


(15.22)
где С - несущественная постоянная порядка единицы.

Прохождение через потенциальный барьер часто образно называют «туннельным эффектом»: для преодоления барьера частица не взбирается на его вершину, но проходит под ней как бы через туннель.

Многие явления, недоступные для объяснения в классической механике, лег-ко объясняются в квантовой механике именно благодаря «туннельному эффекту» (например, эмиссия электронов из металлов, явления в контактном слое на границе двух полупроводников, α - распад, протекание термоядерных реакций).
Похожие материалы:

Добавил: naddy (13.05.2010) | Категория: Квантовая физика
Просмотров: 2689 | Загрузок: 0 | Рейтинг: 5.0/1 |
Теги: кванты, частицы, физика, потенциальный барьер
Комментарии (0)

Имя *:
Email *:
Код *: