Цель работы

• Проверить теорему Гаусса для поля вектора E;
• Проверить равенство нулю циркуляции вектора E по произвольному замкнутому контуру;

Методическое обоснование работы

Изучать свойства электростатистического поля особенно удобно на примере плоского поля, т.е. поля, в котором векторы E лежат в параллельных плоскостях, а потенциал и напряженность зависят только от двух координат. Полное исследование такого поля требует измерений потенциала или напряженности только в одной из плоскостей. В качестве примера плоского поля в работе выбрано поле, являющееся аналогом электростатического поля бесконечного цилиндрического конденсатора, внешняя обкладка которого обозначена С1, а внутренняя – С2 (рис. 2.2.1).

Теорема Гаусса утверждает, что поток Ф вектора напряженности электрического поля E через любую замкнутую поверхность S равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε₀:

Вектор n – единичный вектор внешней нормали к поверхности;
dS – площадь элементарной поверхности, в пределах которой E = const.

В случае бесконечного цилиндрического конденсатора при применении теоремы Гаусса в качестве вспомогательной поверхности целесообразно выбрать замкнутую цилиндрическую поверхность S, площадь которой

(2.2.2)

где S1, S2 – площади торцов; S3 – площадь боковой поверхности.

Высота h цилиндра, ограниченного вспомогательной (гауссовой) поверхностью выбирается произвольно; при этом она обязательно должна быть конечной. Гауссова поверхность охватывает заряд q, локализованный на участке AA' (рис. 2.2.1) внутренней обкладки конденсатора длиной h.

Поток вектора E через выбранную замкнутую поверхность равен сумме потоков через боковую поверхность и торцы:

Поскольку во всех точках торцов векторы E и n взаимно перпендикулярны, то потоки вектора E через эти поверхности равны нулю, т.е.

Таким образом:

где E_n – проекция вектора E на направление внешней нормали n;
dS = hdl (dl – бесконечно малая часть контура L, образованного при пересечении гауссовой поверхности с плоскостью В (рис. 2.2.1).

Учитывая, что диаметр внутренней обкладки конденсатора d << D (D – диаметр внешней обкладки), внутреннюю обкладку конденсатора можно представить в виде бесконечно длинной нити, заряженный с линейной плотностью ?. Тогда заряд q, локализованный внутри гауссовой поверхности, равен

С учетом соотношений (2.2.3) – (2.2.6), выражение (2.2.1) может быть приведено к виду:

откуда

где интегрирование производится по замкнутому контуру L, представляющему собой плоский аналог гауссовой поверхности.

Полученный результат не зависит от координаты Z и справедлив для любого контура L, лежащего в плоскости ХY.

Интеграл

приближенно можно представить в виде суммы

Таким образом, в соответствии с теоремой Гаусса для поля вектора E

Необходимо отметить, что

или

(линейный поток вектора E)

в этом случае является аналогом потока вектора E через замкнутую поверхность, λ – аналогом заряда.

Условием потенциальности векторного поля является равенство нулю циркуляции вектора напряженности этого поля по любому замкнутому контуру. Потенциальность исследуемого поля математически может быть охарактеризована выражением

где E_l – проекция вектора напряженности на направление элементарного перемещения dl вдоль контура L в данной точке поля;

Выражения (2.2.11), (2.2.12) являются математической формулировкой теоремы о циркуляции вектора E.

Левую часть (2.2.12) можно представить в виде суммы

где E_li – тангенциальная составляющая вектора E в пределах участка контура Δl_i.

Таким образом, теорема о циркуляции поля вектора E может быть записана в виде

Используемый в лабораторной работе макет (рис. 2.2.2) является плоским аналогом рассмотренного цилиндрического конденсатора.

Метод моделирования эквивалентных полей подробно рассмотрен в описании к предшествующей лабораторной работе - "Изучение строения электростатических полей".

Макет представляет собой лист электропроводной бумаги, на которой закреплены плоские металлические электроды, подсоединенные к истопнику постоянного тока. Разность потенциалов между двумя произвольными точками поля измеряем с помощью двойного зонда (ДЗ), соединенного с цифровым вольтметром (или другим измерительным прибором). Измеряемая разность потенциалов однозначно связана с напряженностью поля в пределах участка Δl.

На бумаге макета нанесены два контура, один – охватывающий внутренний электрод (abcd), другой – неохватывающий его (efgh). Контуры разбиты на элементарные участки Δl_i; для упрощения расчетов участки Δl_i равны между собой.

Зонд (ДЗ) необходимо расположить таким образом, чтобы его центр совпадал с центром каждого участка Δl_i. При проверке теоремы Гаусса стрелка зонда должна быть ориентирована по направлению внешней нормали к контуру (рис. 2.2.3); при проверке равенства нулю циркуляции вектора E – по касательной к контуру в направлении его обхода, которое выбирается произвольно (рис. 2.2.4).

Задание

1. Проверить теорему Гаусса для контуров, охватывающих электрод и не охватывающих его. Для этого в каждом случае рассчитать сумму
   
   
   
   и проанализировать полученные результаты.
2. Проверить теорему о циркуляции для тех же контуров. Для этого в каждом случае подсчитать сумму
   
   
   
   и проанализировать полученные результаты.

Контрольные вопросы

1. Дать определение потока вектора и циркуляции вектора.
2. Сформулировать и записать в общем виде теорему Гаусса для поля вектора.
3. Сформулировать и записать в общем виде теорему о циркуляции вектора.
4. Обосновать возможность проверки теоремы Гаусса и теоремы о циркуляции в условиях данной работы.
   

Литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. -М.; Наука, 1988, § 11-13.
2. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. - М.: Высшая школа, 1983, § 1.2, 1.3, 1.4, 1.5.

© Министерство  образования Республики Беларусь, Белорусский Государственный Университет Информатики и Радиоэлектроники, Кафедра физики